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    “黎曼”有風險,“猜想”須謹慎

    2018-9-22 11:41

    來源: chain2140




    都在等待“黎曼猜想”證明

    卻不知道它后面隱藏的危險


    ——節選自《人類最美的54個公式》



    01

    大神黎曼


    過直線外一點,可作其幾條平行線?


    歐幾里德說,只能作一條;

    羅巴切夫斯基說,至少可以作兩條(包括一組和無數)。

    黎曼慢悠悠地反問:誰知道平行線相交還是不相交呢?


    “平行線公理”的世紀之爭,最終終結于黎曼。


    黎曼提出:過直線外一點,一條平行線也作不出來。(這是人話嗎?)



    可基于黎曼幾何(與“黎曼猜想”無關)得出的“無平行線”結論,最終成了廣義相對論的數學幫手。


    廣義相對論最初源于愛因斯坦意識到引力并不是一種力,而是時空幾何彎曲的體現。


    物理直覺超于常人的愛因斯坦一直找不到數學工具來表達他的想法,如果沒有數學支撐,直接說引力是時空彎曲效應,肯定會被吐槽成“物理是體育老師教的”。


    所以,直到他從數學界朋友了解到黎曼的“非歐幾何”,才讓廣義相對論提早問世。當愛因斯坦得意地跟全世界說:如果沒有我,50年內也不會出現廣義相對論。


    這時候,能和愛因斯坦站在一起吹牛的,也只有數學大神黎曼了。





    02

    黎曼猜想與裸奔的互聯網


    “幾何”一直是黎曼的主業,這又是一座深不可測的數學殿堂。


    但今天聊的不是他的主業,而是他在1859年“閑暇之余”隨手丟下的一個猜想。


    這個猜想說的是:存在一個對素數分布規律有著決定性影響的黎曼ζ函數非平凡零點


    講人話,我們來看黎曼猜想到底長什么樣紙!


    黎曼猜想指的是,黎曼函數所有非平凡零點的實部都是1/2。


    更通俗的數學表達式如下:


    ζ(s)= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直線x=1/2上。


    怎么樣!看懂了吧,如果還有疑問……那我也沒輒了,對著黎曼的在天之靈發誓,我真的已經盡力了。


    黎曼自己肯定沒有想到,他所提出的這個猜想,足足折騰了數學家們159年。


    如果黎曼知道直到2018年我們還在糾結,一定會花點時間把過程寫出來的。


    這件事情還得怪他的老師高斯,高斯的座右銘是“寧肯少些,但要成熟”的低調作風,這一點影響到黎曼,讓他成為一個惜字如金的大神。


    他一生僅發表過10篇論文,但每篇論文都橫跨各領域,是多領域的先鋒開拓者,雖然不到40歲就去世,但仍然顯示出驚艷不可方物的才華。



    1859年黎曼拋出的這個不朽謎題,就是想解決素數之秘。


    不過一旦素數之秘如果真的被解開,證明過程將啟發聰明的加密學者,那么現在互聯網的加密方式將受到威脅,互聯網很可能變成一個裸奔的世界,因為我們主要的非對稱加密包括RSA密鑰加密等等,都是基于大數的分解。


    不僅僅是互聯網,證明方法里面提供的思想,無需量子計算機,根據其證偽過程甚至有可能找到破解現代銀行的安全密碼體系,看你還開心不開心!所以說:“黎曼”有風險,“猜想”須謹慎。





    03

    非對稱加密算法和素數的關系


    那些擔心自己的錢包和黎曼猜想的朋友們,我們再復習一下小學數學:


    小于20的素數有多少個?答案是有8個:2、3、5、7、11、13、17和19。小于1000的素數有多少個?小于100萬呢?小于10億的呢?


    觀察素數表,你會發現素數數目是下降的,它們越來越稀疏。1和100之間有25個素數,401和500之間有17個,而901和1000之間只有14個。如果把素數列到100萬,最后一個百數段(就是從999901到1000000)中只有8個素數。如果列到10 000億,最后一個百數段中將只有4個素數。它們是,999 999 999 937,999 999 999 959 ,999 999 999 961,999 999 999 989。



    越到后面,素數的尋找越發艱難。


    因此,聰明的數學家們將素數應用在密碼學上,因為人類還沒有發現素數的規律,以它作密鑰進行加密的話,破解者必須要進行大量運算,即使用最快的電子計算機,也會因求素數的過程時間太長而失去了破解的意義。


    現在普遍使用于各大銀行的是RSA公鑰加密算法,基于一個十分簡單的素數事實:將兩個大質數相乘十分容易,但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難,因此可以將乘積公開作為加密密鑰。


    黎曼猜想的證明過程(包括“證實”或“證偽”),很有可能派生出攻擊RSA公鑰加密算法的規律。


    一旦黎曼猜想得證,那么基于大素數分解的非對稱加密算法可能就走到了盡頭,私鑰加密、簽名也就失去了意義。


    當我們在為數學家開心的時候,也得小心未來的風險。




    04

    黎曼ζ函數證明和量子幽靈有關嗎?


    黎曼猜想的證明有那么難嗎?


    在這里我不列出這些證明細節,只看看一路坎坷的證明歷程:


    ?1896年,法國的哈達瑪抵達猜想的三八臨界線邊緣——證明了黎曼ζ函數的非平凡零點只分布在帶狀區域的內部,并順手干掉了刁難人類一百年的素數定理。

    ?1914年,丹麥的玻爾與德國的蘭道觸到了冰山一角,窺得了黎曼ζ函數的非平凡零點傾向于“緊密團結”在臨界線的周圍。

    ?英國的哈代副武裝模式開啟,直接將“紅旗”插上了臨界線——證明了黎曼ζ函數有無窮多個非平凡零點位于臨界線上。

    ?1989年美國的康瑞又推翻了列文森的推論,重新開啟了估算的新篇章,又證明了至少有40%的零點位于臨界線上。


    ……


    然而誰也沒能真正搞定黎曼猜想,數學上“無窮大”這只惡魔讓再多數值證據都微不足道。


    沒想到,有幸之年,我竟能親身見證黎曼猜想的求證過程,實深感榮焉。



    就在最近,2018年9月20日,菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞爵士宣稱自己求證了黎曼猜想,要在9月24日海德堡獲獎者論壇上向全世界公布證明。


    一聽這消息,躲在深山老林的科學家們全炸了。


    黎曼猜想這次真的會被解決嗎?作為數學獎最高得主,阿蒂亞爵士的確是這個時代頂尖數學家之一。但他都89歲了,會不會只是出來玩票……


    此次阿蒂亞的證明恐與量子力學有著千絲萬縷的關系。


    自20世紀以來,已有部分科學家注意到素數與量子物理之間存在聯系。


    黎曼猜想中的素數行為,酷似量子力學中的“測不準原理”,雖然你可能不知道單個分子確切位置,但是你可以確定這個房間大致的分子分布,素數這難以捉摸的行為特別像量子幽靈掌握的微觀世界。


    阿蒂亞若是借助量子力學這一工具來解決黎曼猜想也不是不可能。畢竟,數學中很多重大問題,都是建立在與其他數學分支跨界聯系的基礎上才被解決,比如費馬大定理。


    而由量子理論所衍生而出的量子計算機,也早已被數學家證明能快速對大數進行質因數分解,基于“平行世界”的運算可輕而易舉破解素數并顛覆密碼系統。


    量子力學與素數的戀情,也許將在這一次揭開情人面紗。




    05

    猜想將動搖數學大廈嗎?


    一旦證明方法被加密學家思考透徹,密碼夾持的秘密有多少會不復存在。
    那么說各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟發抖,不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發,并不是一句過于夸張的話。


    黎曼猜想的求證過程帶來的危險不僅僅影響銀行,更不僅僅影響互聯網,其可能動搖到一些數學根基。


    數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想的成立為前提。如果黎曼猜想被證明,所有那些數學命題就全都可以榮升為定理;反之,如果黎曼猜想被否證,則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬品。


    那些建立在黎曼猜想上的推論,可謂是一座根基不穩、搖搖欲墜、令人惶恐不安的大廈。


    一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯,這是世上極為罕有的,也許正是因為這樣的關系,黎曼猜想的名氣和光環變得更加顯著,也越發讓人著迷。



    因而,此次黎曼猜想是否成功求證,是證實還是證偽,都將牽一發而動全身,直接影響以黎曼猜想作為前提的數學體系。




    06

    危險的數學和敬愛神的人


    伯恩哈德·黎曼于1866年7月20日去世,離開這個世界時還不到40歲。


    天妒英才,這位與歐拉、高斯、伽羅瓦一樣在數學上具有頂尖天賦的人物,可能因為其才華給神帶來巨大危險,很快就被上帝喚回去打麻將了。


    他并沒有意識到自己對這個世界的影響會如此深遠,臨走之前非常安寧,沒有掙扎也沒有臨終痙攣,仿佛饒有興趣地觀看靈魂與肉體的分離。


    《素數之戀》一書談到:他妻子給他拿來面包和酒,他要她把他的問候帶給家里人,并對她說:“親親我們的孩子”。她為他誦讀了主禱文,他的眼睛虔誠地向上仰望,幾次喘息以后,他純潔而高尚的心臟停止了跳動。



    他長眠在塞拉斯加教區比甘佐羅教堂的院子里,墓碑上的碑文是:



    這里安息著

    格奧爾格·弗里德里克·伯恩哈德·黎曼

    哥廷根大學教授

    生于1826年9月17日,布雷斯倫茨

    卒于1866年7月20日,塞拉斯加

    萬事都互相效力

    叫愛神的人得益處





    注釋:

    ①ζ函數:(ζ-function)用來刻畫系統周期點性態的函數。

    ②零點:設是定義在數域k上的函數,我們把方程f=0在數域k中的解稱作f(在k中)的零點,所有零點構成的集合稱作零點集。

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