對于賭場的想像，很多人第一時間想到的是：
周潤發、劉德華、周星馳各版的拉風出場，
身披黑色大衣，梳著大背頭迎風前行，
然后鼓風機使勁地吹，這才是賭神的樣子。
實際上，賭場里隱藏的巨鯨賭客，
是那些低調沉默、思維嚴謹的數理愛好者。
他們會關注博彩公司的賠率，找到安全的對沖辦法。
挖掘博弈后面的勝率，不輕易踏入莊家設置的陷阱。
在賭場上長期獲利的高手，
他們賭的不是人生運氣，其實賭的是數學籌碼。
所以，你真的心血來潮忍不住要賭上一把時，
如果找不到希爾伯特、伯努利、貝葉斯這樣的搭檔，
那就帶上李永樂這樣的數學小助理。
在去賭場之前，我們先小試身手。
知己知彼，方能百戰百勝。
做賭徒之前，先做個莊了解一下本質。
看看莊是怎么賺錢的，體驗下數學的威力。
歐冠賽場都結束了，我們就以中超賽事做個莊。
以最簡單的“廣州恒大VS武漢卓爾”猜勝負為例：
已知1：恒大勝，賠率1.50；卓爾勝，賠率2.50；
已知2：買恒大勝投注總額x元，買卓爾勝投注總額y元；
求證：只要滿足一定條件，無論比賽結果如何，莊家必定贏錢。
聰明的李老師搬來個小黑板開始計算：
作為莊家的我們收入是：x+y元
假設1：恒大勝出，莊家需派獎1.50x元
假設2：卓爾勝出，莊家需派獎2.50y元
推論：當x+y>1.50x，且x+y>2.50y，兩個條件同時成立時，莊家收入恒大于任何一種比賽結果的派獎額，莊家必定能贏錢。
這個方程組很好解：
x+y>1.50x x+y >2.50y
=>0.5x<y<0.67x
所以，當買恒大勝與卓爾勝的投注額滿足以上方程時，我這個做莊的就會贏錢。
這個例子雖然簡單，但讓賭徒看到了數學的力量。
做莊這么爽，不過且慢，這幫下注的兄弟們也不一定聽我的啊。
他們憑什么這么聽話，會以這樣的比例投注？
所以，數學并非萬能，還要談談人性。
做莊看起來沒那么容易，得好好再算計算計。
別偷雞不成，反蝕把大米。
按照上面算出的0.5x<y<0.67x賠率：
假設押注恒大的總金額為100萬，押注卓爾的總金額為60萬。
我們在賽前收到的總押注金額為160萬。
如果恒大勝了，需要賠出100萬×1.5=150萬。
毛利為：160萬-150萬=10萬。
如果卓爾勝了，需要賠出60萬×2.5=150萬。
毛利為：160萬-150萬=10萬。
在這個賠率區間下注，的確穩賺不賠，的確是好生意。
如果不在0.5x<y<0.67x這個投注比例區間呢。
假設老王押注恒大總金額為100萬，押注卓爾總金額也是100萬。
如果恒大贏了，莊家賺到手的就是50萬。
如果卓爾贏了，我需要賠出100萬×2.5=250萬。
倒貼50萬——如果真這樣，我拉著小李同學就要跑路。
李老師鎮定如常，稱要祭出殺手锏了，那就是“誘盤”。
所謂誘盤，舉個例子：2014年6月30日哥斯達黎加對希臘的決賽。
6月27日盤口顯示：哥斯達黎加賠率1.7，即每投注100元，可贏170元，希臘賠率為2.2。
6月28日，盤口中哥隊賠率上升到1.75，而希隊下降到2.15。
6月29日上午，哥隊賠率飆升至2.075，希隊賠率則降至1.825。
許多賭客將賭資回流至希臘隊，從而保證投注額分配始終處于有利莊家的模式里。
作為莊家，總有辦法將下注比率鎖定在0.5x<y<0.67x。
所以，做莊一定是賺錢的。
看來，我得去拿個博彩的營業執照。
李老師非常冷靜地提醒我：
清醒，清醒，我們沒有資格做莊，我們只是個小賭徒。
幸好我們都是理性的人，馬上從夢鄉里驚醒過來。
不過，畢竟學了點小皮毛，忍不住想去拉斯維加斯開賭的。
李老師認為得先訓練訓練，做莊和當賭徒是不一樣的。
這話說得有道理 ，我欲善其賭，必先利其器。
不過太復雜的賭博游戲，我也不太懂。
就來一個最簡單的玩法：與李老師比拋硬幣。
規則是這樣的：
擲硬幣，正面贏反面輸，如果贏了可以拿走比賭注多一倍的錢，如果輸了則會賠掉本金。
于是拿出了身上的100元來玩這個游戲，每次下注5元，這樣至少有20次的下注機會。
不過，運氣不太好，第一把就是反面，輸了5塊錢。
生性樂觀的我覺得沒什么，反正不管怎么說，贏面都有50%，下一把就可以贏回來。
結果，很快就把身上的錢都輸光了。
反復試驗了很多次，仍然是同樣的結果。
百思不得其解：明明是公平的50%贏面，在50%概率下至少不會虧本的，可為什么最后會輸光？
助理李永樂同學再一次教導我，你以為自己看到了50%的概率，把游戲看得透徹明白，殊不知，你看到了概率，卻沒有看到背后的陷阱：大數定律。
一正一反，均為50%概率，按照大數定律來說，這是必然規律。
然而，你有沒有想過，正是這種表面上的“公平”，讓你誤解了大數定律，最終陷入了“賭徒謬論”？
先來看看這種讓你覺得“公平”的大數定律究竟是什么。
它是數學家伯努利提出的：
假設n是N次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是每一次試驗中A發生的概率，那么，當N趨于無窮時：
式中n表示發生次數，N表示試驗總次數。
也就是說，大量重復的隨機現象里其實藏著某種必然規律。
還是以擲硬幣為例，當投擲次數足夠大時，出現正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2，且隨著投擲次數的增加，偏差會越來越小，如下圖。這是最早發現的大數定律之一。
從表面概率看，這確實是場公平的游戲。
但這種公平是有一定條件的，注意，這就是普通人看不到的。
大數定律講究“大量重復的隨機現象”，只有足夠多次試驗才能使得硬幣正反面出現次數與總次數之比幾乎等于1/2。
可具體多少次才算“足夠多”？才能夠把它用在個人對賭上？
沒有人知道。因為，概率論給出的答案是——無窮大。
可投擲硬幣次數越小，大數定律的身影就越模糊，可能10次中5正5反，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……
現實往往是，在遠未達到“足夠多”次試驗時，你就已經輸了個精光了。
你覺得自己比賭場更有錢嗎？
把“大數定律”當“小數定律”，這種在潛意識里被奉為圭臬的“公平”，讓你踏入了“賭徒謬論”。
所以，這種與賭場比拋硬幣的游戲萬萬是不能玩的。
又學會了一點知識，禁不住有點小得意。
實在是等不及了，現在就要去拉斯維加斯當賭王。
阻止一個想賭徒實在太難，想要阻止一個想當賭王的賭徒是難上加難。
但無論如何，作為一個合格的助理，他必須講出最后的賭場秘密。
如果一定要去賭的話，一定要研究下面這個數學模型，才能走上賭王之路。
先假設了一個博彩模型（特別聲明一下，這只是假設模型，實際上不會有這么好的賭徒賠率）：
一個1賠2（不包括本金）的簡單賭局，扔硬幣下注，假設賭注為1元，硬幣如果為正面則凈贏2元，如果為反面則輸掉1元。現在你的總資產為100元，每一次的押注都可投入任意金額。
你會怎么賭呢？
已知擲硬幣后正反面的概率都為50%，賠率是1賠2（不包括本金），那么這個賭局其實只要耐心去下注，從數學上講那是穩賺不賠的賭局。
但實際情況卻可能會有偏差。
要玩就玩票大的，All In！一次性把100元全押上，幸運的話一次就獲得200元。
如果輸了，100元資產拱手獻給對方。好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策。
你可能會想，謹慎點，百分之一慢慢來。
你每次只下注1元，正面贏2元，反面輸1元。
玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元，自己1次才贏2元、10次才能贏得20元，感覺自己已經錯過幾個億而開始后悔！
那到底該以多少比例下注才能獲得最大收益？
這貌似無常的賭局，真的有數學規律嗎？
是的，后面隱藏著一個數學秘密：凱利公式卻能夠算出答案：
利用這個公式計算后，你每次下注比例為當時總資金的25%，這樣就能獲得最大收益。
真的嗎？賭徒的熱血已經沸騰了。
f = 應投注的資本比例；
p = 獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）；
q = 失敗的概率，即(1 - p)（也就是硬幣反面的概率）；
b = 賠率，等于期望盈利÷可能虧損（也就是盈虧比）；
公式上面的分子(bp-q)代表“贏面”，數學中叫“期望值”。
什么才是不多不少的合適賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。
回到前面（第五節）提到的例子中，硬幣拋出正反面的概率都是50%，所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5，而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損，賠率就是2，我們要求的答案是f，也就是(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。
由此，我們根據凱利公式的計算而得投注比例，在這個博彩賠率里，我每次都拿出當前手中資金的25%來進行下注。設初始資金為100，硬幣為正面時收益為投注的2倍，為反面則失去投注金額。在以下兩個表中，我們模擬計算了10次賭局的收益情況。
表1從先正后反的情況計算了收益，表2則計算了正反分布交錯情況下的收益結果。
比較兩表最終可以發現其收益是相等的，硬幣出現正反面的先后順序對于最終收益的計算結果并無影響。
而按25%的投注比例進行投注，收益基本呈現穩步增長的大趨勢。
但假設投注比例為100%時，10次當中只要出現任意一次的反面，就會徹底輸光身上的所有錢，直接出局，且每輪反面概率還為50%；
而每次1元1元地投注，也就是投注比例為1%的時候，10次數學上的收益為100+10×50%×2+(-1)×10×50%=105，這風險很小，不過收益太低。
以上舉的1賠2的例子，是一個虛擬模型。
這個數學模型，對賭徒是非常有利的。
因為根據f=(bp-q)/b公式，(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。
這個結果（又叫期望值）是一個正數，賭徒可以利用凱利公式獲得收益。
然而，實際的賭博游戲中，幾乎都是對賭徒不公平的游戲。
也就是說，這個模型是反過來的，期望值對賭徒來說是負數。
當然，你表面上是看不出來的，或者說期望負值很低，賭徒很難完全感知到。
①期望值(bp-q)為0時，賭局為公平游戲。
②期望值(bp-q)為負時，賭徒處于劣勢，更不應下任何賭注。
③期望值(bp-q)為正時，這時按照凱利公式投注賺錢最快，風險最小。
也就是說，大部分的賭博游戲，賭徒的期望值實際上是第②條。
把以上例子中的身份顛倒過來，也就是說莊家在利用凱利公式同你下注。
可見，這表面看來淺薄浮躁的賭場，其實冷靜深邃。
除了上面說到的數學和人性，實際上涉及經濟學、博弈論等。
要真正深入了解這方面知識，還有很多深奧的學問，涉及到馬爾科夫鏈、二項分布、遞推公式等等。
有人可能說，我又不是與賭場對賭，我只要贏了對手就行了。
可無論是你還是對方，或明或暗都是要給賭場“抽水”的。
也許抽水只有小小的2%，但賭的時間一長，都是在給賭場打工。
在莊的眼里，賭徒永遠有一個逃不開的魔咒：賭徒破產困境。
當然，沒有誰能說服一個墮落的賭徒，李永樂也不能，因為這是人格的缺陷。
但如果你還是一個具有理性精神的人，就別再迷戀運氣。
賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場后面的大佬是高斯、凱利、伯努利這樣的數學大神。
你很難贏得了莊家。
論理性，沒有人能比賭場老板更理性。
論數學，沒有人能比賭場老板請的專家更精通數學。
論賭本，沒有人能比賭場老板的本錢更多。
世上有太多人還在心存僥幸，告訴他唯一的答案。
如果要想真正贏得人生這場賭局，法則只有一個：不賭。
